Градиентные методы оптимизации

Задачки оптимизации с нелинейными либо тяжело вычислимыми соотноше­ниями, определяющими аспект оптимизации и ограничения, являются предметом нелинейного программирования. Обычно, решения задач не­линейного программирования могут быть найдены только численными мето­дами с применением вычислительной техники. Посреди их более нередко пользуются градиентными способами (способы релаксации, градиента, наиско­рейшего спуска и восхождения), безградиентными способами Градиентные методы оптимизации детерминиро­ванного поиска (способы сканирования, симплексный и др.), способами случай­ного поиска. Все эти способы используются при численном определении опти-мумов и довольно обширно освещены в специальной литературе.

В общем случае значение аспекта оптимизации R может рассматри­ваться как функция R (хь хь ..., хп), определенная в л-мерном пространстве Градиентные методы оптимизации. Так как не существует приятного графического изображения я-мерного места, воспользуемся случаем двумерного места.

Если R (ль х2) непрерывна в области D, то вокруг хорошей точки M°(xi°, хг°) можно провести в данной плоскости замкнутую линию, повдоль ко­торой значение R = const. Таких линий, именуемых линиями равных уровней Градиентные методы оптимизации, вокруг хорошей точки можно провести огромное количество (зависимо от шага

Посреди способов, используемых для решения задач нелинейного програм­мирования, существенное место занимают способы поиска решений, основан­ные на анализе производной по направлению оптимизируемой функции. Если в каждой точке места скалярная функция нескольких переменных воспринимает полностью определенные значения, то в этом случае Градиентные методы оптимизации имеем дело со скалярным полем (поле температур, поле давлений, поле плотностей и т.д.). Схожим образом определяется векторное поле (поле сил, скоростей и т.д.). Изотермы, изобары, изохроны и т.д. — все это полосы (поверхности) равных уровней, равных значений функции (температуры, давления, объема и т.д.). Так Градиентные методы оптимизации как от точки к точке места значение функции изменяется, то ста­новится нужным определение скорости конфигурации функции в простран­стве, другими словами производной по направлению.

Понятие градиента обширно употребляется в инженерных расчетах при на­хождении экстремумов нелинейных функций. Градиентные способы относятся к численным способам поискового типа. Они универсальны и в особенности Градиентные методы оптимизации эффек­тивны в случаях поиска экстремумов нелинейных функций с ограничениями, также когда аналитическая функция неведома совершенно. Суть этих мето­дов заключается в определении значений переменных, обеспечивающих экс­тремум функции цели, методом движения по градиенту (при поиске max) либо в обратном направлении (min). Разные градиентные способы отли Градиентные методы оптимизации­чаются один от другого методом определения движения к оптимуму. Сущность состоит в том, что если полосы равных уровней R{xu xi) охарактеризовывают графически зависимость R(x\jc?), то поиск хорошей точки можно вести по-разному. К примеру, изобразить сетку на плоскости х\, хг с указанием зна­чений R в узлах Градиентные методы оптимизации сетки (рис. 2.13).

Потом можно избрать из узловых значений экстремальное. Путь этот не оптимальный, связан с огромным количеством вычислений, ну и точность не­велика, потому что находится в зависимости от шага, а оптимум может находиться меж узлами.

Численные способы

Математические модели содержат соотношения, составленные на базе теоретического анализа изучаемых процессов Градиентные методы оптимизации либо приобретенные в итоге обработки тестов (таблиц данных, графиков). В любом случае мате матическая модель только приближенно обрисовывает реальный процесс. Поэтом} вопрос точности, адекватности модели является важным. Необходимости приближений появляется и при самом решении уравнений. До недавнешних пор модели, содержащие нелинейные дифференциальные уравнения либо диффе ренциальные уравнения в личных производных, не были Градиентные методы оптимизации бы решены ана литическими способами. Это относится к бессчетным классам небе рущихся интегралов. Но разработка способов численного анализа позво лила неоглядно раздвинуть границы способностей анализа математических моделей, в особенности это стало реальным с применением ЭВМ.

Численные способы употребляются для приближения функций, для реше ния дифференциальных уравнений Градиентные методы оптимизации и их систем, для интегрирования и диффе ренцирования, для вычисления числовых выражений.

Функция может быть задана аналитически, таблицей, графиком. При вы полнении исследовательских работ всераспространенной задачей является приближение функции аналитическим выражением, удовлетворяющим поставленным уело виям. При всем этом решаются четыре задачки:

• выбор узловых точек, проведение тестов при определен­ных значениях (уровнях) независящих Градиентные методы оптимизации переменных (при непра­вильном выборе шага конфигурации фактора или «пропустим» ха­рактерную особенность изучаемого процесса, или удлиним про­цедуру и повысим трудозатратность поиска закономерности);

• выбор приближающих функций в виде многочленов, эмпириче­ских формул зависимо от содержания определенной задачки (следует стремиться к наибольшему упрощению приближающих функций);

• выбор Градиентные методы оптимизации и внедрение критериев согласия, на базе которых на­ходятся характеристики приближающих функций;

• выполнение требований данной точности к выбору приближаю­щей функции.

В задачках приближения функций многочленами употребляются три класса

функций:

• линейная композиция степенных функций (ряд Тейлора, много­члены Лагранжа, Ньютона и др.);

• композиция функций соз пх, ш их (ряды Фурье);

• многочлен, образуемый Градиентные методы оптимизации функциями ехр (-а, г).

При нахождении приближающей функции употребляют разные крите­рии согласия с экспериментальными данными:

• четкое совпадение значений функций с тестом в узловых точках (параболическое приближение);

минимум квадратов отклонений значений приближающей функ­ции от опыта в узловых точках (способ меньших квадра­тов);

• минимум наибольшего отличия (равномерное Градиентные методы оптимизации, чебышевское приближение).

в задачках моделирования процессов горного производства численные способы могут повстречаться при приближении функций, представле нии моделей в конечно-разностном виде, при приближенном дифференциро вании и интегрировании, решении уравнений и их систем.

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Аппроксимация — приближенное выражение математических величин (чисел, функций и др.) через другие, более обыкновенные. Понятно, что аппрокси­мация непрерывной Градиентные методы оптимизации на отрезке хе [а,Ь] функции алгебраическими либо триго­нометрическими многочленами Р(х) вероятна с хоть какой степенью точности) аксиома Вейерштрасса). Мерой точности служит максимум разности меж Ах) и Р(х):

5«тах|/(х)-/»00|.

В приближенных вычислениях и при оценке погрешностей употребляется понятие дифференциала. Используются формулы

Дх0 + Ах Градиентные методы оптимизации) ш Дх0) +/'(х0) Ах

либо Д* + Дх, у + Ау) - Д*о, у0) + -+- (х0, у0) Ах+^- (х0, у0) Ау. (3.1)

дх ду

Для решения уравнений используют способ итераций либо способ последова­тельных приближений.

Способ итераций является одним из самых общих способов приближенного решений уравнений. Многие другие методы — личные случаи способа итера­ций. Задачка решения Градиентные методы оптимизации уравнения Дх) = 0 равносильна отысканию точек, в кото­рых график функции у = Дх) пересекает ось абсцисс.

Способ хорд состоит в поочередном приближении к значению X, яв ляющемуся четким решением Дх) = 0 методом расчетом по формулам

Пример 55.

Решить по способу Ньютона уравнение лг - Зх - 5 = 0 с точностью до 0,001, приняв за 1-ое приближение х0 = 3.

Решение.

Производной хъ Градиентные методы оптимизации - Зх - 5 =Дх) является/ \х) = Зх2 - 3.

По формуле (3.6)хп+1 -х„-(х„3-Зх„-5)/(Зх,,2 -3) рассчитываем

х, = 3 - (27 - 9 - 5) / (27 - 3) = 2,46;

х2 = 2,46 - (14,89 - 7,38 - 5) / (18,16 - 3) = 2,295;

х3 = 2,295 - (12,088 - 6,885 - 5) / (15,801 - 3) = 2,279;

х4 = 2,279 - (11,837 - 6,807 - 5) / (15,582 - 3) = 2,279.

Таким макаром, с точностью до 0,001 производится равенство х4 = х3 и по­этому корень уравнения х3 - Зх - 5 = 0 равен 2,279 (с обозначенной точностью).

Существенное место в разделе аппроксимации функций занимает приближение функций степенным рядом Тейлора


graficheskij-redaktor-naznachenie-i-osnovnie-vozmozhnosti.html
graficheskij-sposob-resheniya-sistem-uravnenij.html
graficheskoe-izobrazhenie-harakteristik-srabativaniya-rele.html